Apa yang ditakrifkan sebagai di atas merupakan kebebasan peristiwa. Dalam seksyen ini kira menanggap kebebasan angkubah rawak. Jika X adalah nilai-angkubah nombor nyata rawak dan a adalah nombor dengan itu peristiwa X ≤ a merupakan set hasilan yang berpadanan dengan nilai X adalah kurang dari atau sama dengan a. Oleh kerana ini merupakan set hasilan yang memiliki kebarangkalian, ia memberi makna untuk merujuk peristiwa seperti ini sebagai bebas dari peristiwa lain yang sama.

Tolong bantu menterjemahkan sebahagian rencana ini. Rencana ini memerlukan kemaskini dalam Bahasa Melayu piawai Dewan Bahasa dan Pustaka. Sila membantu, bahan-bahan boleh didapati di Bebas (teori kebarangkalian) (Inggeris). Jika anda ingin menilai rencana ini, anda mungkin mahu menyemak di terjemahan Google. Walau bagaimanapun, jangan menambah terjemahan automatik kepada rencana, kerana ini biasanya mempunyai kualiti yang sangat teruk. Sumber-sumber bantuan: Pusat Rujukan Persuratan Melayu.

Dua angkubah rawak X dan Y adalah bebas jika dan hanya jika bagi setiap a dan b, peristiwa {X ≤ a} dan {Y ≤ b} adalah peristiwa bebas seperti ditakrifkan di atas. Secara mathematik, ini boleh digambarkan seperti berikut:

Dua angkubah rawak X dan Y dengan cumulative distribution functions FX(x) and FY(y), and probability densities ƒX(x) and ƒY(y), are independent if and only if the combined random variable (X, Y) has a joint cumulative distribution function

F X , Y ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) , {\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y),\,}

ata samajuga, kepadatan bersama

f X , Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) . {\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y).\,}

Sekiranya X dan Y adalah bebas bersyarat diberikan Z, maka

P ( X = x | Y = y , Z = z ) = P ( X = x | Z = z ) {\displaystyle \mathrm {P} (X=x|Y=y,Z=z)=\mathrm {P} (X=x|Z=z)\,\!}

bagi sebarang x, y dan z dengan P(Z = z) > 0. Iaitu, pengagihan bersyarat bagi X diberika Y dan Z adalah sama sekiranya diberikan Z sahaja. Persamaan yang sama benar bagi fungsi kepadatan kebarangkalian bersyarat dalam kes berterusan.

Kebebasan boleh dilihat sebagai bebas bersyarat khas, kerana kebarangkalian boleh dilihat sebagai kebarangkalian bersyarat sekiranya tiada peristiwa berlaku.